Os números naturais x, y e z são tais que x < y < z e são proporcionais a 5, 6 e 7, respectivamente. Se a soma dos dois menores números é igual a 132, então é correto afirmar que a soma dos dois números maiores é igual a
Resposta:
Sabemos que x, y e z são proporcionais a 5, 6 e 7, respectivamente. Isso quer dizer que, se a = 5x, b = 6y e c = 7z, então temos:
a:b:c = x:y:z
Como x < y < z, então a < b < c. Além disso, sabemos que a + b = 132.
Como a, b e c são proporcionais a x, y e z, respectivamente, então a soma dos dois números maiores (b + c) também é proporcional à soma dos dois menores (x + y). Logo, podemos escrever:
(b + c):(a + b) = (y + z):(x + y)
Substituindo os valores conhecidos, temos:
(b + c):132 = (y + z):(x + y)
Como y + z = z + y, então podemos reescrever a equação acima como:
(b + c):132 = z:(x + y)
Isolando b + c, temos:
b + c = 132 * z / (x + y)
Como a + b = 132, então a = 132 - b. Substituindo esse valor na equação acima, temos:
b + c = 132 * z / (132 - b)
Multiplicando os dois lados da equação por (132 - b), temos:
b * (132 - b) + c * (132 - b) = 132 * z
Expandindo os termos do lado esquerdo, temos:
132 * b - b² + c * 132 - c * b = 132 * z
Isolando b², temos:
b² - 132 * b + c * 132 - c * b - 132 * z = 0
Rearranjando os termos, temos:
b² - (c + 132) * b + c * 132 - 132 * z = 0
Usando a fórmula de Bhaskara, temos:
b = (c + 132 + √((c + 132)² - 4 * c * 132 + 4 * 132 * z)) / 2
ou
b = (c + 132 - √((c + 132)² - 4 * c * 132 + 4 * 132 * z)) / 2
Como b é o segundo menor número, então devemos escolher o menor valor para b. Portanto, devemos escolher a segunda opção para b:
b = (c + 132 - √((c + 132)² - 4 * c * 132 + 4 * 132 * z)) / 2
Substituindo c = 7z na equação acima, temos:
b = (7z + 132 - √((7z + 132)² - 4 * 7z * 132 + 4 * 132 * z)) / 2
Explicação passo a passo:
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